Задачи по статистике с решением – Медиана и мода

Решение задач по теме статистическое распределение

Задача 1. По данным Росстата численность занятых в экономике по возрасту в 2015 году

Найдите медиану, первый и третий квартили, первый и девятый децили. Объясните их содержание.

Возраст, лет	До 19	20-24	25-29	30-34	35-39	40-44	45-49	50-54	55-59	60-72	Всего
% к общей численности занятых в экономике	1,5%	9,2%	11,5%	11,6%	15,3%	17%	15,4%	10,7%	3,6%	4,2%	100%
Накопленные частоты	1,5	10,7	22,2	33,8	49,1	66,1	81,5	92,2	95,8	100
Середина интервала	17	22	27	32	37	42	47	52	57	62
произведение середины интервала на частость	25,5	202,4	310,5	371,2	566,1	714	723,8	556,4	205,2	260,4	3936

Решение:

Рассчитаем средний возраст, т.е. среднюю величину по формуле средней арифметической взвешенной.

=

=(1,5*17+9,2*22+11,5*27+11,6*32+15,3*37+17*42+15,4*47+10,7*52+3,6*57+4,2*62)/100=(25,5+202,4+310,5+371,2+566,1+714+723,8+556,4+205,2+260,4)/100=3935,5/100=39.4 (лет).

Далее рассчитаем моду и медиану.

Мода _(Мо) – это самое часто встречающееся значение варьирующего признака в вариационном ряду. Для дискретного ряда мода равна значению с самой большой частотой. Для интервального ряда начинают с нахождения модального интервала. Он выбирается по наибольшей частоте. Мода рассчитывается:

где: _Xo - нижняя граница модального интервала;

_i - размер модального интервала;

- частота модального интервала;

- частота интервала, предыдущего модальному;

- частота интервала, следующего за модальным;

Решение

У нас интервальный ряд. Модальный интервал определяется по наибольшей частоте, наибольшая частота у нас 17, которая соответствует модальном интервалу 40-44. Найдем моду по формуле.

Мо= 40+4*(17-3)/((17-3)+(17-4))=42,07.

Далее найдем медиану.

Медиана (Me) - это середина. Для расчета значения медианы в дискретном ряду находят середину совокупности, т.е. полусумму частот, и смотрят, какое значение соответствует середине совокупности. При нахождении медианы интервального ряда выбирают медианный интервал, интервал выбирают по накопленным частотам, смотрят, когда впервые накопленная частота превысит середину совокупности, данный интервал и будет медианным.

Для вычисления медианы применяется формула:

где: _{X Me} - нижняя граница медианного интервала;

_i - размер медианного интервала;

- накопленная частота интервала, предыдущего медианному;

- частота медианного интервала;

Решение

У нас интервальный ряд. Медианный интервал определяется по накопленной частоте, мы должны определить, когда впервые накопленная частота превысит середину совокупности. Середина совокупности у нас 50. Впервые накопленная частота превысила середину совокупности в интервале от 40 до 44, что соответствует накопленной частоте 66,1 и частоте 17. Накопленная частота интервала, предшествующего модальному у нас равна 49,1.

Найдем медиану по формуле.

Ме=40+4*(1/2*100-49.1)/17=40,21.

Квантили распределения

Согласно условию Интервалы группировок равны. Размер интервала равен 4. Поэтому первый квартиль лежит в интервале от 30 до 34, в котором сумма накопленных частот впервые равна четверти объема совокупности (более 25) . Третий квартиль – находится в интервале от 45-49, то есть когда сумма накопленных частот впервые больше 3/4 (более 75).

Первый дециль расположен в интервале от 20 до 24, в котором сумма накопленных частот впервые превышает 1/10 объема совокупности (более 10), девятый дециль находится в интервале от 50 до 54, т.е. когда сумма накопленных частот впервые превышает 9/10 объема совокупности (более 90).

первый квартиль	30,97	более 25
третий квартиль	47,31	более 75
первый дециль	23,70	более 10
десятый дециль	53,18	более 90

Задача 2. По данным Росстата на начало 2015 года количество студентов различных форм обучения государственных и муниципальных высших образовательных учреждений распределялось так: очная – 647,3 тыс. человек; очно-заочная (вечерняя) – 48,6 тыс. человек; заочная – 606,7 тыс. человек; экстернат – 27,0 тыс. человек. Проведите частотный анализ распределения и сделайте выводы. Замените групповые частоты частостями, найдите накопленные (кумулятивные) частоты.

Решение задачи

Накопленные частоты находятся путем суммирования f частот. Процент студентов в общем количестве рассчитывается исходя из нахождения доли в 100%, расчет приводится в таблице.

Форма обучения	Количество студентов	Процент студентов в общем количестве	Накопленные частоты
очная	647,3	48,7% (647,3*100%/1329,6)	647,3
очно-заочная (вечерняя)	48,6	3,7% (48,6*100%/1329,6)	695,9 (647,3+48,6)
заочная	606,7	45,6% (606,7*100%/1329,6)	1302,6 (695,9+606,7)
экстернат	27	2,0% (606,7*100%/1329,6)	1329,6 (1302,6+27)
итого	1329,6	100%

Задача 3. По результатам летней экзаменационной сессии одного курса студентов получено данное распределение оценок по баллам:

Балл оценки знаний студентов (xi)	2	3	4	5	Итого
Количество оценок, полученных студентами (fi)	6	75	120	99	300
xi * fi	12	225	480	495	1212

Найдите: Средний балл оценки знаний студентов

Модальный балл успеваемости и медианное значение балла

Сделайте выводы о характере данного распределения

Средний балл оценки знаний студентов можно рассчитать по формуле средней арифметической взвешенной.

=(2*6+3*75+4*120+5*99)/300=4,04 (балла).

Рассчитаем моду и медиану. Моду можно найти по наибольшей частоте, а наибольшая частота у нас 120, т.е. Мода = 4.

А медиану можно найти по накопленной частоте, когда впервые накопленная частота превысит середину совокупности, т.е. превысит 150.

Для балла «2» накопленная частота равна частоте и равна 6 и это меньше середины совокупности. Для балла «3» накопленная частота равна 81 (75+6) и это меньше середины совокупности. Для балла «4» накопленная частота равна 201 (81+120) и это больше середины совокупности. Т.е. Медиана равна 4.

Можно сделать вывод, что в данной задаче распределение симметричное.